逆行列

線形方程式　Ax = b の解はx = A^-1bと記述できますが、解を求める際に最初にAの逆行列を計算し次にA^-1bを計算するというやり方は良い方法ではありません。このような方程式を解くためには、nAG数値計算ライブラリのチャプターF04及びF07ルーチンをご利用下さい。これらのルーチンを使用することにより速く実行することができ、また数値的に安定しており正確です。 同様に、最小２乗問題を解く場合も疑似逆行列を計算するのではなくnAG数値計算ライブラリのチャプターF04及びF08ルーチンをご利用下さい。

n次の非特異正方行列に関しては、行列が正定値の実対称行列か正定値の複素エルミート行列のどちらかであることがわかっている場合は適切なルーチンを使用しないと無駄で不経済な処理となってしまいます。正定値であることがわかっていない場合は一般的なルーチンを使用する必要があります。nAG数値計算ライブラリのほとんどのルーチンで、逆行列は以下の線形方程式を解いて求められています。

• Ax_i = e_i (i=1,2,...,n )　　e_i ： 恒等行列のi番目の列

逆行列を求める代表的なnAG数値計算ライブラリルーチンに以下があります。それぞれルーチンを呼び出すサンプルソースコードが提供されておりサンプルソースコードを説明しているWebページを参照いただけます。

ルーチン名	用途	ルーチンを呼び出すサンプルソースコード
F07AJ	実行列の逆行列	Fortranのサンプルソースコード C言語のサンプルソースコード
F07AW	複素行列の逆行列	Fortranのサンプルソースコード C言語のサンプルソースコード
F01BL	実行列の疑似逆行列	Fortranのサンプルソースコード

他にも元となる行列の種類によって逆行列を求める多様なルーチンが用意されています。
以下は元となる行列の種類と使用するルーチン（Fortranライブラリの場合）の対応表です。

実行列の場合

nxn行列 ランクn	実行列	帯行列	対称行列	正定値	保証精度	三角行列	線形配列	１つの三角形要素が線形配列	使用する ルーチン名
○	○	○	－	－	－	－	－	－	注１
○	○	×	○	○	○	－	－	－	F01ABF
○	○	×	○	○	×	－	－	○	F07GDF 及び F07GJF
○	○	×	○	○	×	－	－	×	F01ADF あるいは (F07FDF 及び F07FJF)
○	○	×	○	×	－	－	－	○	F07PDF 及び F07PJF
○	○	×	○	×	－	－	－	×	F07MDF 及び F07MJF
○	○	×	×	－	－	○	○	－	F07UJF
○	○	×	×	－	－	○	×	－	F07TJF
○	○	×	×	－	×	×	－	－	F07ADF 及び F07AJF
○	○	×	×	－	○	×	－	－	F04AEF

複素行列の場合

nxn行列 ランクn	実行列	帯行列	エルミート	対称行列	三角行列	線形配列	正定値	１つの三角形要素が線形配列	使用する ルーチン名
○	×	○	－	－	－	－	－	－	注１
○	×	×	○	－	－	－	○	○	F07GRF 及び F07GWF
○	×	×	○	－	－	－	○	×	F07FRF 及び F07FWF
○	×	×	○	－	－	－	×	○	F07PRF 及び F07PWF
○	×	×	○	－	－	－	×	×	F07MRF 及び F07MWF
○	×	×	×	○	－	－	－	○	F07QRF 及び F07QWF
○	×	×	×	○	－	－	－	×	F07NRF 及び F07NWF
○	×	×	×	×	○	○	－	－	F07UWF
○	×	×	×	×	○	×	－	－	F07TWF
○	×	×	×	×	×	－	－	－	F07ANF あるいは (F07ARF 及び F07AWF)

注１：	帯行列Aの逆行列は一般にAとは同じ形をしていません。このような行列を求める関数は特別には提供されていません。行列はフル行列として処理されるか、または方程式Ax=B（この場合Bは恒等行列へ初期化されています）を解く必要があります。後者についてはF04チャプターのセクション4を参照下さい。

疑似行列の場合

nxn行列 ランクn	複素行列	フルランク	m<n の mxn行列	効率性より 信頼性重視	使用する ルーチン名
×	○	○	○	－	F01RJF 及び F01RKF
×	○	○	×	－	F08ASF 及び (F08AUF あるいは F08ATF)
×	○	×	－	－	F08KPF
×	×	○	○	－	F01QJF 及び F01QKF
×	×	○	×	－	F08AEF 及び (F08AGF あるいは F08AFF)
×	×	×	○	－	F08KBF
×	×	×	×	○	F08KBF
×	×	×	×	×	F01BLF

逆行列を求める方法についての詳細はチャプターF01を参照下さい。