非負制約付き最小二乗法と変数制限付き最小二乗法の最適化ソルバー

1. 問題の定義と応用

変数制限付き線形最小二乗問題（Bounded-Variable Least Squares、BVLS）は、以下の最適化問題として定式化されます：

$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& \Vert Ax-b{\Vert }_2\\ \text{subject to}& l\le x\le u\end{array}$$

ここで、

• $A$ は $m\times n$ 行列
• $x$ は $n$ 次元ベクトル（決定変数）
• $b$ は $m$ 次元ベクトル
• $l$, $u$ は $n$ 次元ベクトル（下限・上限制約）

非負制約付き最小二乗法（Non-negative Least Squares、NNLS）は、$l=0$, $u=\mathrm{\infty }$ の特殊ケースです。

応用例：

• 統計学：線形回帰モデル（係数が非負または範囲制限がある場合）
• 信号処理：ノイズ除去、圧縮センシング
• 画像処理：画像復元、超解像、ピクセル強度の推定
• 機械学習：スパース回帰、非負行列因子分解
• 計量経済学：制約付き回帰分析
• 化学：スペクトル分析、混合物の成分比の推定
• 金融工学：ポートフォリオ最適化（空売り制限がある場合）

2. nAGライブラリによる高性能ソリューション

nAG（Numerical Algorithms Group）ライブラリは、変数制限付き線形最小二乗問題を効率的に解くための専用ルーチン e04pcf (bnd_lin_lsq) を提供しています。このルーチンは以下の特徴を持ちます：

• 高度に最適化された実装：密行列演算に特化したアルゴリズムを採用
• 数値的安定性：直交変換を用いて数値誤差を最小化
• メモリ効率：in-place 計算を活用し、追加のメモリ使用を最小限に抑制
• 柔軟性：正則化ソリューションのオプションを提供

3. アルゴリズムの詳細

e04pcf は以下のステップでBVLS問題を解きます：

1. 直交変換を適用してAを上三角行列Rに変換：$A=QR$
2. 変数の分類：
   • 自由変数（制約に触れていない）
   • 制約に触れている変数
   • 固定変数（上下限が等しい）
3. 反復的に変数の分類を更新しながら最適解を探索
4. 数値的な線形従属性を検出し、必要に応じて正則化

このアプローチにより、高速で数値的に安定した解法を実現しています。

4. 高度な機能

正則化ソリューション

行列$A$がフルランクでない場合、最小二乗問題の解は一意でなくなる可能性があります。e04pcfは、オプションとして正則化ソリューションを提供します：

• 最小ノルムソリューション：$\Vert x{\Vert }_2$ を最小化する解を返す
• 数値的安定性の向上：条件数の悪い問題に対してより信頼性の高い結果を提供

正則化ソリューションのメリット：

• 解の一意性：複数の解が存在する場合でも、一意な解を得られる
• 過学習の抑制：特に統計的推定や機械学習の文脈で、モデルの汎化性能を向上させる
• 数値的安定性：小さな摂動に対する解の感度を低減し、より頑健な結果を提供
• 解釈可能性：最小ノルム解は、しばしば物理的または統計的に意味のある解釈が可能

ただし、正則化は追加の計算コストを必要とするため、問題の性質に応じて適切に選択することが重要です。

詳細な出力情報

e04pcfは解に加えて以下の情報も提供します：

• 残差ノルム：$\Vert Ax-b{\Vert }_2$
• 自由変数の数
• 双対解ベクトル：制約の感度分析に有用

5. 性能と制限

• 中小規模の問題（$n$, $m\le {10}^4$程度）に最適化されています
• 大規模問題には、スパース行列演算や反復法を用いた別のアプローチが必要になる可能性があります
• 計算量：$O(m{n}^2)$ - 行列の密度に大きく依存
• メモリ使用量：$O(mn)$ - 入力行列の保存に必要な量以外に大きな追加メモリは不要

補足情報

• e04pcfは、nAGライブラリのE04章（最適化）に含まれる包括的な最適化ソルバー群の一部です
• より複雑な非線形最小二乗問題には、同じく E04 章の e04usa (lsq_gencon_deriv) などの非線形ソルバーを検討してください
• 大規模問題向けのスパースソルバーの開発は、ユーザーの需要に応じて継続的に進められています

nAGライブラリの e04pcf は、変数制限付き線形最小二乗問題に対する高性能かつ信頼性の高いソリューションを提供します。その効率的なアルゴリズムと数値的安定性により、幅広い応用分野で活用することができます。