非線形最小二乗信頼領域法 (BXNL)

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非線形最小二乗信頼領域法 (BXNL)

[handle_solve_bxnl | e04ggf | e04ggc ]

データフィッティングと複雑な数値モデルのパラメータ調整は、物理学、宇宙探査、シミュレーション、工学など、多くの産業で見られる最も一般的な問題の1つです。 nAGは、nAG Library at Mark 27.1に、無制約または境界制約付きフィッティング問題のための新しい非線形最小二乗信頼領域ソルバーhandle_solve_bxnl (e04gg)を導入しました。これは、多様なアルゴリズムと正則化技術を提供します。

ソルバーe04ggは、小規模から中規模(最大1000個のパラメータ)の境界制約付き非線形最小二乗問題を対象としており、 nAG最適化モデリングスイートの共通ハンドルインターフェースの一部でもあります。スイート内のソルバーのインターフェースの明確さと一貫性を提供し、互換性のあるソルバー間の切り替えを容易にします。

図1は、データフィッティングの簡単な例を示しています(Jupyterノートブック)。タスクは、軌道が近似的に通過する必要がある様々な測定値が与えられた場合に、最適な軌道経路を見つけることです。

データ軌道測定からの最適軌道。 データ軌道測定からの重み付き最適軌道。

図1. NLLS軌道データフィッティングの例。 7つの軌道データポイントのセットが与えられた場合、経路と固定データポイント間の誤差を最小化する最適な軌道経路を推定するのがタスクです。この例では、専門家の知識が各測定の信頼性に関する洞察を提供し、この衛星構成の運用軌道高度は約250 +/-3単位であるべきだと仮定します。中央のプロットは、各測定(データポイント)が同じ量を寄与する単純なフィットを示し、238.76単位の最適軌道高度を提供します。このフィットは、専門家のアドバイスを満たさないという意味で非常に不十分です。明らかに、データポイント0(地球表面に最も近い黄色の十字)の信頼性の低さをフィッティング時に考慮する必要があります。残差の重みは、その変動性の逆数に比例するべきです。この例では、各データ測定の精度が提供されていると仮定し、これを重み付き非線形最小二乗法を使用して考慮できます。右端のプロットは、254.90単位の軌道高度を持つ重み付き最適解を示しており、これは提案された許容範囲内です。画像クレジット:地球の画像EUMETSAT、Copyright 2020から取得しました。

詳細情報

  1. BXNLの情報リーフレット2. nAGライブラリのPython向けBXNL
  2. 例 [Pythonの例, Cの例, Fortranの例]

核トラックデータの展開

[この例のPython Jupyterノートブック]

この例は、handle_solve_bxnl (e04gg)を使用して、アルファ粒子のPADCエッチング核トラックデータを畳み込み分布にフィットさせる方法を示しています。ターゲットシートをスキャンし、トラック直径を記録し(図2の左の赤いくさび)、ヒストグラム(図2の右の青い棒)にし、得られた実験ヒストグラムに混合正規分布と対数正規分布モデルをフィットさせます。

Jupyterノートブックでは、e04ggを使用して6パラメータモデル φ(t, x = (a,b,Al,μ,σ,Ag)) = Al log-Normal(a, b) + Ag Normal(μ, σ) with 0 ? x をフィットさせ、データとしてヒストグラムの高さを使用します。NLLS解は、2つの分布(図2の右プロットの赤と青の曲線)の展開されたパラメータを提供します。これらを合計すると、フィッティングに使用される緑の曲線が生成されます。

PADCエッチトラック直径ヒストグラム展開 トラック直径の実験ヒストグラム

図2. 左:アルファ粒子エッチングトラックを持つPADCターゲットの例、赤いくさびはトラック直径を示しています。 右:トラック直径の実験データヒストグラム(青い棒)、フィッティングに使用された集計モデル(緑の曲線)、展開されたモデル(青と赤の曲線)。 最適なパラメータ値は凡例に報告されています。

現代的な代替手段

ソルバーhandle_solve_bxnl (e04gg)は、無制約非線形最小二乗ソルバーlsq_uncon_quasi_deriv_comp (e04gb)の現代的で魅力的な代替手段です。 より最近の現代的な手法が e04gg に組み込まれ、e04gb よりもはるかに高速になりました。68の無制約非線形最小二乗CUTEst問題を使用して e04gge04gb を比較したベンチマークを、図3のパフォーマンスプロファイルで報告しています。

3つのプロットを比較すると、新しいソルバーが時間的により効率的であることがわかります:60%の問題をより速く解きます(左のプロット)。一般的に、より堅牢で(25%多くの問題を解決)、ユーザーコールバックの観点からもコストが低いです:55%の問題でより少ない関数呼び出しが必要(中央のプロット)で、65%の問題でより少ない勾配評価が必要です(右のプロット)。

e04gg は、nAGライブラリの無制約または境界制約付き非線形最小二乗ソルバーにおいて大幅な改善をもたらすはずであり、e04gb の現在のユーザーは新しいソルバーを試すことを強くお勧めします。

パフォーマンスプロファイル(時間:秒) パフォーマンスプロファイル(関数呼び出し回数) パフォーマンスプロファイル(勾配呼び出し回数)

図3. 68のCUTEst無制約非線形最小二乗問題に対するソルバーe04ggとe04gbの比較パフォーマンスプロファイル。 パフォーマンス指標は:時間(秒)(左)、関数呼び出し回数(中央)、勾配呼び出し回数(右)です。 時間のプロット(左)では、線が高いほど速いソルバーを示します。中央と右のプロットでは、線が高いほど 関数と勾配の呼び出しが少ないことを表します。

参考文献

  • Gould N I M, Rees T, and Scott J A (2017) 非線形最小二乗問題を解くための高次の方法. 技術報告書, RAL-P-1027-010 RALライブラリ. STFCラザフォードアップルトン研究所 http://www.numerical.rl.ac.uk/people/rees/pdf/RAL-P-2017-010.pdf
  • Kanzow C, Yamashita N, and Fukushima M (2004) 凸制約付き非線形方程式を解くための強い局所収束特性を持つレーベンバーグ・マルカート法. 計算応用数学ジャーナル 174 375?397
  • Nocedal J and Wright S J (2006) 数値最適化. (第2版) Springer オペレーションズリサーチシリーズ, Springer, ニューヨーク
  • Adachi S, Iwata S, Nakatsukasa Y, and Takeda A (2015) 一般化固有値問題による信頼領域部分問題の解法. 技術報告書, METR 2015-14. 数理工学, 東京大学 https://www.keisu.t.u-tokyo.ac.jp/data/2015/METR15-14.pdf
  • Conn A R, Gould N I M and Toint Ph L (2000) 信頼領域法. SIAM, フィラデルフィア

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