導関数不要最適化(DFO)ソルバーを使用したキャリブレーション問題の解決

ノイズに強いDFO:従来手法との比較と優位性

この文書は、nAG(Numerical Algorithms Group)が提供する導関数不要最適化(DFO)ソルバーを使用したキャリブレーション問題の解決について詳述しています。

J. Fiala, B. Marteau(Numerical Algorithm Group)
L. Roberts, C. Cartis(オックスフォード大学)

2019年4月


ファイナンスにおける典型的なノイズの源

  • 目的関数 ( F ) が低精度アルゴリズム(例:低精度求積法)で評価される場合があり、これによりノイズが生成されます。
  • ( F ) がモンテカルロシミュレーションを通じて計算される場合があります(例:ハイブリッドモデル):パスがインザマネーとアウトオブザマネーを行き来することで、目的関数にノイズが導入されます。
  • 市場価格 ( y_i ) はしばしば有限の精度を持ちます。例えば、価格が1ベーシスポイント(1BP)単位で表示される場合があります。モデル価格が観測価格の1ベーシスポイント以内に収まった時点でキャリブレーションが停止します。

三番目のケースは、ヨーロピアンオプションの期間構造を持つヘストン確率的ボラティリティモデルをキャリブレーションする際によく見られます。

ファイナンスにおけるユースケース:ヘストンモデルのキャリブレーション

( C_{}(ρ_t, α_t, σ_t, λ_t) ) を、以下の区分定数時間依存内部パラメータを持つヘストンモデルによって推定されるヨーロピアンオプションの市場価格とします:

  • ( ρ_t ):ヘストンモデルにおけるブラウン運動の相関パラメータ
  • ( α_t ):スケーリングされたボラティリティのボラティリティ
  • ( σ_t ):スケーリングパラメータ
  • ( λ_t ):平均回帰率

特定の条件下では、( λ_t ) を無視し、定数値に設定することができます。

我々は、パラメータ ( (ρ_t, α_t, σ_t) ) が一定となる7つの時間間隔を定義し、これらを実際の市場価格 ( C_{_i} ) にフィットさせる必要があります。したがって、モデルのキャリブレーションは、ボックス制約付きの7つの3次元非線形最小二乗問題を解くことに帰着します:

\[ \min \sum_{i=1}^{m} \left( C_{\text{model}_i} (\rho_t, \alpha_t, \sigma_t) - C_{\text{market}_i} \right)^2 \]

制約条件: \[ -1 \leq \rho_t \leq 1, \quad \alpha_t \geq 0, \quad \sigma_t \geq 0 \]

例:期間構造を持つヘストンモデルのキャリブレーション

以下の表は、1ベーシスポイントの精度で期間構造を持つヘストンモデルをキャリブレーションした結果を示しています。導関数フリー最適化(DFO)ベースのソリューションは、平均して有限差分法に比べ31%の高速化を実現しています。

ソルバー 平均評価回数 平均CPU時間 (秒)
有限差分法 331 15.2
DFO 223 10.5

表1: 1355回のヘストンキャリブレーションにおけるDFO(e04ff)と導関数ベースソルバー(e04un)の比較。

図1:所定の精度に達するために必要な平均評価回数

図1:この棒グラフは、20回の実行で所定の精度に達するために必要な平均評価回数を示しています。青色の棒はDFOを、オレンジ色の棒は有限差分法(FD)を表します。エラーバーは失敗した実行の割合を示しています。

DFOは、正確な導関数が利用できない場合や高精度のキャリブレーションが不要な場合、導関数ベースのソルバーを明らかに凌駕します。目的関数の評価にノイズがある場合、DFOは不可欠です。

ノイズに強いキャリブレーション

ノイズは最適化ソルバーに望ましくない影響を与える可能性があります。モデルベースのDFOソルバーは本質的にノイズに対する耐性を示します。nAGライブラリでは、これがさらに強化されています:

  • アルゴリズムパラメータの具体的な選択。
  • 早期収束の自動検出とスマートな「ソフト」再起動手順。

一様ノイズ ( ) を伴う非線形最小二乗法によるノイズのあるキャリブレーションの例:

\[ \min_{x \in \mathbb{R}^n} \sum_{i=1}^{m} \left( r_i(x) + \epsilon \right)^2 \]

比較:ローゼンブロック試験関数に対する準ニュートン法とDFO

以下の表は、有限差分を組み合わせた準ニュートン法(e04fc)と新しい導関数フリーソルバー(e04ff)の間で、(ノイズのない)解の ( 10^{-5} ) 以内の点に到達するために必要な目的関数評価回数を比較しています。

ノイズレベル ( ν ) 有限差分法 DFO
( 0.0e00 ) 89 28
( 1.0e-10 ) 92 21
( 1.0e-08 ) 221 21
( 1.0e-06 ) 21
( 1.0e-04 ) 21
( 1.0e-02 ) 31
( 1.0e-01 )

表2: ノイズのない解の ( 10^{-5} ) 以内の点に到達するために必要な目的関数評価回数。

図2:ノイズレベルに対するF(x) ≤ 10^-5に到達するための評価回数

図2:このグラフは、異なるノイズレベルに対してF(x) ≤ 10^-5に到達するために必要な評価回数を示しています。赤線は有限差分法を、青線はDFOを表します。

なぜ導関数フリー最適化(DFO)か?

nAGはキャリブレーション問題の構造を活用できるDFOソルバー(e04ff)を実装しています。比較に使用される導関数ベースのソルバーには、nAGライブラリのe04une04fcが含まれます。

導関数フリー最適化の利点:

  • ブラックボックスモデル:自動微分(AD)が不可能です。
  • ノイズのあるモデル:有限差分法(FD)が不正確または不適切です。
  • 高コストモデル:FDが実用的ではありません。
  • 低精度要件:DFOはより少ない関数評価回数で済みます。

古典的な最適化は提供される導関数に依存します:

  • 明示的に記述された導関数。
  • 有限差分法(FD、バンピング)、( )。
  • アルゴリズム微分(nAG AD toolsを参照)。

結論

導関数フリー最適化は以下の場合に大きな利点を提供します:

  • 正確な導関数が利用できない場合。
  • 目的関数にノイズがある場合。
  • 高精度の解が不要な場合。
  • 関数評価が高コストな場合。

nAGライブラリは、ノイズのある、または評価コストの高い目的関数に最適化されたDFOソルバーを使用してキャリブレーション問題を解決するためのツールを提供しています。

展示したポスターは、以下をご参照ください。

ポスターPDF

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