ケラーのボックス型スキームを用いた離散化による１階偏微分方程式

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Keyword: ケラー, ボックス型スキーム, １階偏微分方程式

概要

本サンプルはケラーのボックス型スキームを用いた離散化により１階偏微分方程式を解くFortranによるサンプルプログラムです。本サンプルは以下に示される１階偏微分方程式を解いて結果を出力します。

１階偏微分方程式のデータ　

※本サンプルはnAG Fortranライブラリに含まれるルーチン d03pef() のExampleコードです。本サンプル及びルーチンの詳細情報は d03pef のマニュアルページをご参照ください。
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入力データ

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D03PEF Example Program Data
  41                : npts
  0.1E-5            : acc
  0                 : itrace
  0.0 0.0           : ts, tout

１行目はタイトル行で読み飛ばされます。
２行目はメッシュ点の数（npts=41）を指定しています。
３行目は局所誤差を制御するための正数（acc=0.1E-5）を指定しています。
４行目はトレース情報のレベル（itrace=0:警告メッセージのみ出力）を指定しています。
５行目は独立変数tの初期値（ts=0.0）と積分が実行されるtの最終値（tout=0.0）を指定しています。

出力結果

（本ルーチンの詳細はd03pef のマニュアルページを参照）

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 D03PEF Example Program Results


  Accuracy requirement = 0.100E-05 Number of points =  41

 X            0.1000    0.3000    0.5000    0.7000    0.9000

 T =  0.20
 Approx U1    0.7845    1.0010    1.2733    1.6115    2.0281
 Exact  U1    0.7845    1.0010    1.2733    1.6115    2.0281
 Approx U2   -0.8352   -0.8159   -0.8367   -0.9128   -1.0609
 Exact  U2   -0.8353   -0.8160   -0.8367   -0.9129   -1.0609

 T =  0.40
 Approx U1    0.6481    0.8533    1.1212    1.4627    1.8903
 Exact  U1    0.6481    0.8533    1.1212    1.4627    1.8903
 Approx U2   -1.5216   -1.6767   -1.8934   -2.1917   -2.5944
 Exact  U2   -1.5217   -1.6767   -1.8935   -2.1917   -2.5945

 T =  0.60
 Approx U1    0.6892    0.8961    1.1747    1.5374    1.9989
 Exact  U1    0.6892    0.8962    1.1747    1.5374    1.9989
 Approx U2   -2.0047   -2.3434   -2.7677   -3.3002   -3.9680
 Exact  U2   -2.0048   -2.3436   -2.7678   -3.3003   -3.9680

 T =  0.80
 Approx U1    0.8977    1.1247    1.4320    1.8349    2.3514
 Exact  U1    0.8977    1.1247    1.4320    1.8349    2.3512
 Approx U2   -2.3403   -2.8675   -3.5110   -4.2960   -5.2536
 Exact  U2   -2.3405   -2.8677   -3.5111   -4.2961   -5.2537

 T =  1.00
 Approx U1    1.2470    1.5206    1.8828    2.3528    2.9519
 Exact  U1    1.2470    1.5205    1.8829    2.3528    2.9518
 Approx U2   -2.6229   -3.3338   -4.1998   -5.2505   -6.5218
 Exact  U2   -2.6232   -3.3340   -4.2001   -5.2507   -6.5219

 Number of integration steps in time =    149
 Number of function evaluations =    399
 Number of Jacobian evaluations =    13
 Number of iterations =    323

４行目には局所誤差推定を制御するための正数とメッシュ点の数が出力されています。
６行目には空間方向のメッシュ点が出力されています。
８～１２行目にはt=0.20の場合のU₁(x,t)の近似解と厳密解、U₂(x,t)の近似解と厳密解が出力されています。
１４～１８行目にはt=0.40の場合のU₁(x,t)の近似解と厳密解、U₂(x,t)の近似解と厳密解が出力されています。
２０～２４行目にはt=0.60の場合のU₁(x,t)の近似解と厳密解、U₂(x,t)の近似解と厳密解が出力されています。
２６～３０行目にはt=0.80の場合のU₁(x,t)の近似解と厳密解、U₂(x,t)の近似解と厳密解が出力されています。
３２～３６行目にはt=1.00の場合のU₁(x,t)の近似解と厳密解、U₂(x,t)の近似解と厳密解が出力されています。
３８行目には積分のステップの数が出力されています。
３９行目には関数評価の数が出力されています。
４０行目にはヤコビアン評価の数が出力されています。
４１行目には反復数が出力されています。

ソースコード

（本ルーチンの詳細はd03pef のマニュアルページを参照）

※本サンプルソースコードは科学技術・統計計算ライブラリである「nAG Fortranライブラリ」のルーチンを呼び出します。
サンプルのコンパイル及び実行方法

このソースコードをダウンロード

!   D03PEF Example Program Text
!   Mark 23 Release. nAG Copyright 2011.

    MODULE d03pefe_mod

!      D03PEF Example Program Module:
!             Parameters and User-defined Routines

!      .. Use Statements ..
       USE nag_library, ONLY : nag_wp
!      .. Implicit None Statement ..
       IMPLICIT NONE
!      .. Parameters ..
       REAL (KIND=nag_wp), PARAMETER       :: half = 0.5_nag_wp
       REAL (KIND=nag_wp), PARAMETER       :: one = 1.0_nag_wp
       INTEGER, PARAMETER                  :: nin = 5, nleft = 1, nout = 6,    &
                                              npde = 2
    CONTAINS
       SUBROUTINE uinit(npde,npts,x,u)
!         Routine for PDE initial values

!         .. Implicit None Statement ..
          IMPLICIT NONE
!         .. Scalar Arguments ..
          INTEGER, INTENT (IN)                :: npde, npts
!         .. Array Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (OUT)    :: u(npde,npts)
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: x(npts)
!         .. Local Scalars ..
          INTEGER                             :: i
!         .. Intrinsic Functions ..
          INTRINSIC                              exp, sin
!         .. Executable Statements ..
          DO i = 1, npts
             u(1,i) = exp(x(i))
             u(2,i) = sin(x(i))
          END DO
          RETURN
       END SUBROUTINE uinit
       SUBROUTINE pdedef(npde,t,x,u,ut,ux,res,ires)

!         .. Implicit None Statement ..
          IMPLICIT NONE
!         .. Scalar Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: t, x
          INTEGER, INTENT (INOUT)             :: ires
          INTEGER, INTENT (IN)                :: npde
!         .. Array Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (OUT)    :: res(npde)
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: u(npde), ut(npde), ux(npde)
!         .. Executable Statements ..
          IF (ires==-1) THEN
             res(1) = ut(1)
             res(2) = ut(2)
          ELSE
             res(1) = ut(1) + ux(1) + ux(2)
             res(2) = ut(2) + 4.0_nag_wp*ux(1) + ux(2)
          END IF
          RETURN
       END SUBROUTINE pdedef
       SUBROUTINE bndary(npde,t,ibnd,nobc,u,ut,res,ires)

!         .. Implicit None Statement ..
          IMPLICIT NONE
!         .. Scalar Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: t
          INTEGER, INTENT (IN)                :: ibnd, nobc, npde
          INTEGER, INTENT (INOUT)             :: ires
!         .. Array Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (OUT)    :: res(nobc)
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: u(npde), ut(npde)
!         .. Local Scalars ..
          REAL (KIND=nag_wp)                  :: t1, t3
!         .. Intrinsic Functions ..
          INTRINSIC                              exp, sin
!         .. Executable Statements ..
          IF (ires==-1) THEN
             res(1) = 0.0_nag_wp
          ELSE IF (ibnd==0) THEN
             t3 = -3.0_nag_wp*t
             t1 = t
             res(1) = u(1) - half*((exp(t3)+exp(t1))+half*(sin(t3)-sin(t1)))
          ELSE
             t3 = one - 3.0_nag_wp*t
             t1 = one + t
             res(1) = u(2) - ((exp(t3)-exp(t1))+half*(sin(t3)+sin(t1)))
          END IF
          RETURN
       END SUBROUTINE bndary
       SUBROUTINE exact(t,npde,npts,x,u)
!         Exact solution (for comparison purposes)

!         .. Implicit None Statement ..
          IMPLICIT NONE
!         .. Scalar Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: t
          INTEGER, INTENT (IN)                :: npde, npts
!         .. Array Arguments ..
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (OUT)    :: u(npde,npts)
          REAL (KIND=nag_wp), INTENT (IN)     :: x(npts)
!         .. Local Scalars ..
          REAL (KIND=nag_wp)                  :: xt, xt3
          INTEGER                             :: i
!         .. Intrinsic Functions ..
          INTRINSIC                              exp, sin
!         .. Executable Statements ..
          DO i = 1, npts
             xt3 = x(i) - 3.0_nag_wp*t
             xt = x(i) + t
             u(1,i) = half*((exp(xt3)+exp(xt))+half*(sin(xt3)-sin(xt)))
             u(2,i) = (exp(xt3)-exp(xt)) + half*(sin(xt3)+sin(xt))
          END DO
          RETURN
       END SUBROUTINE exact
    END MODULE d03pefe_mod
    PROGRAM d03pefe

!      D03PEF Example Main Program

!      .. Use Statements ..
       USE nag_library, ONLY : d03pef, nag_wp
       USE d03pefe_mod, ONLY : bndary, exact, nin, nleft, nout, npde, pdedef,  &
                               uinit
!      .. Implicit None Statement ..
       IMPLICIT NONE
!      .. Local Scalars ..
       REAL (KIND=nag_wp)                  :: acc, tout, ts
       INTEGER                             :: i, ifail, ind, it, itask,        &
                                              itrace, lisave, lrsave, neqn,    &
                                              npts, nwkres
!      .. Local Arrays ..
       REAL (KIND=nag_wp), ALLOCATABLE     :: eu(:,:), rsave(:), u(:,:), x(:)
       INTEGER, ALLOCATABLE                :: isave(:)
!      .. Intrinsic Functions ..
       INTRINSIC                              real
!      .. Executable Statements ..
       WRITE (nout,*) 'D03PEF Example Program Results'
!      Skip heading in data file
       READ (nin,*)
       READ (nin,*) npts
       nwkres = npde*(npts+21+3*npde) + 7*npts + 4
       neqn = npde*npts
       lisave = neqn + 24
       lrsave = 11*neqn + (4*npde+nleft+2)*neqn + 50 + nwkres

       ALLOCATE (eu(npde,npts),rsave(lrsave),u(npde,npts),x(npts), &
          isave(lisave))
       READ (nin,*) acc
       READ (nin,*) itrace

!      Set spatial-mesh points

       DO i = 1, npts
          x(i) = real(i-1,kind=nag_wp)/real(npts-1,kind=nag_wp)
       END DO

       ind = 0
       itask = 1

       CALL uinit(npde,npts,x,u)

!      Loop over output value of t
       READ (nin,*) ts, tout

       DO it = 1, 5
          tout = 0.2_nag_wp*real(it,kind=nag_wp)

!            ifail: behaviour on error exit   
!                   =0 for hard exit, =1 for quiet-soft, =-1 for noisy-soft  
          ifail = 0
          CALL d03pef(npde,ts,tout,pdedef,bndary,u,npts,x,nleft,acc,rsave, &
             lrsave,isave,lisave,itask,itrace,ind,ifail)

          IF (it==1) THEN
             WRITE (nout,99997) acc, npts
             WRITE (nout,99999) x(5), x(13), x(21), x(29), x(37)
          END IF

!         Check against the exact solution

          CALL exact(tout,npde,npts,x,eu)

          WRITE (nout,99998) ts
          WRITE (nout,99995) u(1,5:37:8)
          WRITE (nout,99994) eu(1,5:37:8)
          WRITE (nout,99993) u(2,5:37:8)
          WRITE (nout,99992) eu(2,5:37:8)
       END DO
       WRITE (nout,99996) isave(1), isave(2), isave(3), isave(5)


99999  FORMAT (' X        ',5F10.4/)
99998  FORMAT (' T = ',F5.2)
99997  FORMAT (//'  Accuracy requirement =',E10.3,' Number of points = ',I3/)
99996  FORMAT (' Number of integration steps in time = ',I6/' Number o', &
          'f function evaluations = ',I6/' Number of Jacobian eval', &
          'uations =',I6/' Number of iterations = ',I6)
99995  FORMAT (' Approx U1',5F10.4)
99994  FORMAT (' Exact  U1',5F10.4)
99993  FORMAT (' Approx U2',5F10.4)
99992  FORMAT (' Exact  U2',5F10.4/)
    END PROGRAM d03pefe

ケラーのボックス型スキームを用いた離散化による１階偏微分方程式

Fortranによるサンプルソースコード : 使用ルーチン名：d03pef

概要

入力データ

出力結果

ソースコード