nAGお客様事例

nAG ライブラリを使用して亜音速及び超音速のノズル流を理解する

オリフィスからの完全気体の亜音速及び超音速の流れは、多くの研究者によってよく研究されるテーマです。ロンドン大学ユニバーシティカレッジ Orial Kryeziu は、亜音速及び超音速両者の範囲にある流体速度のノズルからの定常２次元等エントロピー圧縮性流れを現在研究しています。しかしながら彼の研究の大きな目標は、浅水方程式を用いてモデル化された隙間や切れ目からの非圧縮性流体流れを明確に理解することです。非圧縮性流体の代わりに圧縮性流体で研究することは可能です。なぜなら浅水方程式と気体力学方程式の間に安定した関連性があるからです。それらを解くために開発された気体方程式と手法は、隙間からの非圧縮流体の地球力学の研究に活用する必要があります。

二次元定常非回転の圧縮性一様エントロピー流れの解析に広く使用される技法は、ホドグラフ法です。ホドグラフ法は位置座標 {x}=(x,y) を速度 {u}=(u,v) の関数と見なし、{x}で満たされる偏微分方程式（PDE）を決定するという理論に基づいています。この変数間の変換はルジャンドル変換と呼ばれる一般型の変換に相当します。ホドグラフ変換の利点はホドグラフ方程式が線形であり解析手法や数値手法により簡単に利用できる解法をもつということです。

P. Cook と E. Newman はホドグラフ面のノズル問題を公式化しました。このとき、ルジャンドルポテンシャルについて連続方程式が示されました。二次元ではこの PDE は線形であり、方程式が流れ場の亜音速領域では楕円であり流れ場の超音速領域では双曲線であるという特異的性質を持ちます。ホドグラフ座標への変換により亜音速領域は四角形で描かれます。これにより長方形メッシュを用いた有限差分法の使用を可能にしています。

1902年に、Chaplygin はホドグラフ変換を使用して無限の貯留層からの亜臨界圧縮性流れの解析解を提示しました。非回転と質量保存を表す連立方程式は流れ関数の PDE（Chaplyginの方程式）に変換されました。Chaplyginの方程式の解、従って元の流体力学方程式の解は、臨界圧力比が超過しないという条件で無限階級の超幾何関数の形で存在します。この解法は超臨界流へ拡張して適用することはできません。

圧力比が縮小されるにつれて、ノズルからの噴流速度は超音速になります。Chaplygin の方程式はこれらの速度に対して双曲線となります。特性曲線法は双曲型PDEを解く最も正確な数値手法です。特性曲線法を使用する際に留意すべき重要な制約は、従属変数が関心領域で連続する必要があるということです。 この要件はすべての従属変数が連続する領域に対しての特性曲線法の適用性を制限します。しかし衝撃波のように不連続がある領域は除きます。

亜音速領域と超音速領域を含む流れ場の連続解を得ることに関して問題があるため、それぞれの領域で別々の計算が行われます。音速線に沿った共通の境界条件は連続解が得られるよう調整されます； Norwood はこのような超臨界流の解を得るための技法を説明しました。 Benson と Pool は同様の数値解法を説明し、解析的かつ実験的調査を実行することにより噴流構造について定量的な詳細を提示しました。

支配方程式を解くために、Orial は nAG が提供する専門的な数値計算アルゴリズムを頼りにしました。流れ関数に関して、Chaplygin の方程式はマルチグリッド技法を実行する nAG ルーチンD03EDF を用いて解かれました。PDE の離散化と境界条件から生ずる線形方程式の７重対角行列を用いて境界値問題は変換されました。nAG ルーチンの一部である、特別に用意されたユーティリティサブルーチンは私が最小の労力で問題を速やかに構築することを可能にしました。

ルジャンドルポテンシャルに関する問題の解は、同じルーチンを使用して得ることはできませんでした。なぜなら境界条件が反復を発散させるからです。反復法よりも直説法を実行する別のnAGルーチンを使用することでこの障害は簡単に解決できました。

Orial は nAG の利用について述べました。「私はnAG が開発したような数値計算アルゴリズムを以前は使用しませんでしたが、ルーチンの使用方法や自分たちのアプリケーションプログラムにルーチンを組み込む方法を理解しやすいことがわかりました。私は nAG が私の研究の欠かせないツールであり続けると思っています。古い数値計算法を気にせずに研究に専念することができます。」