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ベイズ統計学 (Bayesian Statistics)

ベイズ統計に関してNAG数値計算ライブラリを利用する方法

ベイズイメージ図ベイズ統計学

統計方法論は大きく2つのアプローチに分けることができます。 一つは頻度論的(frequentist)と呼ばれる伝統的なアプローチ、 そしてもう一つがベイズ的アプローチです。

多くの状況において、興味の対象となる「真の効果」と、 実際に観察された「観察効果」があります。 頻度論的な考え方では真の効果は固定であると考えられ確率の記述は観察効果について行われます。 そしてこの確率の記述は再現性の考え方がベースになっています。 ベイズ的な考え方では観察効果が固定であると考えられ確率の記述は真の効果について行われます。 この確率の記述は事後分布として表現されることも多く、個人的な見解の尺度ととらえる事もできます。 (確率の記述は事前信念(prior belief)と観察されたデータに含まれる情報の組み合わせです。)

ベイズの定理によれば、観察データyとm個のパラメータで構成されるベクトルθで以下が成り立ちます。

ベイズの定理の式

つまり観察データyが与えられたときのパラメータの確率は、 パラメータが与えられたときの観察データの確率とパラメータの確率の積に比例します。 ここでP(θ)は事前確率で、P(θ|y)は事後確率をそれぞれ表します。

ここでもしパラメータθが連続である場合には以下の式に対応します。

ベイズの定理の式(連続パラメータの場合)

ここでp(.)は密度関数でL(y|θ)はパラメータが与えられたときのデータの尤度です。 多くの場合(上記式を「比例」から「イコール」に変換する)積分定数は未知です。

事後分布に加え予測分布も興味の対象となります。 新しいデータyが与えられた時の予測確率p(y|y)は以下のようになります。

ベイズの予測確率

以下のドキュメントではNAG数値計算ライブラリで事後分布と事前分布を利用するいくつかの方法を説明します。

Introduction to Bayesian Analysis - Using the NAG Library

ベイズ統計学に関連するNAG数値計算ライブラリのルーチン詳細

G01AAF - 平均,分散,歪度,尖度など,1変数,生データから
G01AEF - 生データから度数表
G01AMF - 並べ替えられていない実数の分位数
G01FAF - 標準正規分布に対する偏差の計算
G05KBF - 乱数発生ルーチンのジェネレータ用のシードを周期的乱数列を発生するように初期化
G05KCF - 乱数発生ルーチンのジェネレータ用のシードを非周期的乱数列を発生するように初期化
G05KFF - 再現可能な疑似乱数の初期化
G05KGF - 再現可能ではない疑似乱数の初期化
G05LGF - 擬似乱数列,正規分布、シードとジェネレータを明示的に指定
G05LYF - 多変量正規分布から疑似乱数を生成,シードとジェネレータを明示的に指定
G05SAF - (0,1]の一様分布から疑似乱数列を生成
G05RZF - 多変量正規分布から疑似乱数行列を生成
G10BAF - ガウス型カーネルを用いたカーネル密度推定値
G13ABF - 一変量時系列,標本自己相関関数
E01BFF - 補間値,E01BEFで計算された補間,関数のみ,1変数
E01BEF - 関数補間,単調保護,区分的3次エルミート,1変数


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